CAÍDA CON ROZAMIENTO | Aplicación de las ecuaciones diferenciales

Aplicación preciosa de las ecuaciones diferenciales: la caída vertical de un paracaidista teniendo en cuenta la resistencia del aire. Un paracaidista de 80 kg cae desde el reposo y la fuerza de rozamiento viene dada por Fr = 20v Tomando g = 10 m/s², nuestro objetivo es calcular: 1. La velocidad límite del paracaidista. 2. La velocidad que lleva después de 5 segundos. A partir de la segunda ley de Newton obtenemos la ecuación diferencial m·dv/dt = mg − Fr y, sustituyendo los datos, dv/dt = 10 − v/4 Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal, autónoma y de variables separables. La resolvemos paso a paso mediante separación de variables e integración, obteniendo la ley de la velocidad: v(t) = 40(1 − e^(−t/4)) A partir de ella encontramos: Velocidad límite: vL = 40 m/s. Velocidad a los 5 segundos: v(5) ≈ 28,54 m/s Una aplicación fantástica para comprobar cómo una ecuación diferencial permite pasar de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo a conocer su velocidad en cualquier instante. IMPORTANTE En este ejercicio utilizamos un modelo en el que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad: Fr = kv Para velocidades elevadas suele ser más realista utilizar un modelo en el que la resistencia depende del cuadrado de la velocidad: Fr = kv² PRONTO ENLACE AQUÍ AL PROBLEMA CON Fr = kv² CAPÍTULOS 00:00 Caída con resistencia del aire 00:19 Enunciado del problema 01:23 Diagrama de fuerzas 02:13 Segunda ley de Newton 02:28 Planteamos la ecuación diferencial 02:59 ¿Qué tipo de ecuación diferencial es? 03:34 Comenzamos a resolverla 04:12 Separación de variables 04:43 Integramos ambos miembros 05:04 Cambio de variable 05:41 Aparece el logaritmo neperiano 06:34 Continuamos despejando la velocidad 09:51 Velocidad en función del tiempo 10:23 Aplicamos la condición inicial 11:38 Ley de la velocidad 12:19 Velocidad límite 13:22 Velocidad a los 5 segundos 14:27 ¿Qué ocurre si el rozamiento depende de v²? 14:55 50 ecuaciones diferenciales resueltas ¿QUIERES SEGUIR PRACTICANDO? Antes de terminar el vídeo aparecerá una clase con 50 ecuaciones diferenciales resueltas paso a paso y su correspondiente PDF. Las ecuaciones diferenciales son una de las herramientas fundamentales para modelizar fenómenos físicos: movimiento, enfriamiento, crecimiento y decrecimiento, circuitos eléctricos, oscilaciones, mezclas y muchísimo más. Papel, bolígrafo y vamos a tope. Más ecuaciones diferenciales aquí: https://www.youtube.com/playlist?list=PLZeRcx60JO52C3REvP0P574alc5_lT9yZ #ecuacionesdiferenciales #matematicas #matematicasconjuan Me ayudas muchísimo si te haces miembro de MATEMÁTICAS CON JUAN https://www.youtube.com/channel/UCb40x1kRqrq7---i14VaA-A/join