ENFRIAMIENTO DE UN CAFÉ CON ECUACIONES DIFERENCIALES | Ley de enfriamiento de Newton

¿Para qué sirven las ecuaciones diferenciales? Aplicación física clásica y espectacular: el enfriamiento de una taza de café mediante la ley de enfriamiento de Newton. Partimos de una taza de café a 80 °C, situada en una habitación que permanece a 20 °C, y sabemos que después de 10 minutos el café está a 50 °C. Nuestro objetivo será calcular qué temperatura tendrá después de 15 minutos. La idea fundamental de la ley de enfriamiento de Newton es que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del entorno. A partir de esta ley construimos la ecuación diferencial que gobierna el fenómeno, analizamos qué tipo de ecuación es y comprobamos que se trata de una ecuación diferencial de primer orden, lineal y de variables separables. Resolvemos la ecuación diferencial paso a paso mediante separación de variables e integración. Después utilizamos la condición inicial T(0) = 80 °C para determinar la primera constante y el dato T(10) = 50 °C para hallar la constante de enfriamiento: k = ln(2)/10 ≈ 0,0693 min⁻¹ Una vez obtenida la función que describe la temperatura del café en cualquier instante, calculamos su temperatura cuando han transcurrido 15 minutos y obtenemos aproximadamente 41,2 °C. Un ejemplo perfecto para comprobar cómo una ecuación diferencial permite describir matemáticamente un fenómeno físico real. Además, durante la resolución aparecen herramientas fundamentales de matemáticas: integrales inmediatas, logaritmos neperianos, propiedades de los logaritmos, ecuaciones exponenciales, condiciones iniciales y funciones exponenciales. Una aplicación completa en la que distintas partes de las matemáticas trabajan juntas para entender el comportamiento de la naturaleza. Si todavía no tienes soltura resolviendo ecuaciones diferenciales, busca en el canal mi clase 50 ECUACIONES DIFERENCIALES, donde tienes una colección completa para practicar desde los casos más sencillos. CAPÍTULOS 0:00 Enfriamiento de un café: aplicación de las ecuaciones diferenciales 0:34 Ley de enfriamiento de Newton 1:00 Construimos la ecuación diferencial 2:08 ¿Qué tipo de ecuación diferencial es? 2:43 Enunciado del problema y datos 3:53 Separación de variables 4:39 Integramos ambos miembros 6:39 Obtenemos la solución general 9:06 Condición inicial: T(0) = 80 °C 10:08 Calculamos la constante de enfriamiento 10:58 Resolución de la ecuación exponencial 12:55 Valor de la constante k 13:34 Función de temperatura del café 15:14 Calculamos la temperatura a los 15 minutos 16:38 Resultado: 41,2 °C 17:13 ¿Para qué sirven las ecuaciones diferenciales? 17:25 PROBLEMA PROPUESTO 17:50 Clase de 50 ecuaciones diferenciales Más aplicaciones de ecuaciones diferenciales aquí: https://www.youtube.com/playlist?list=PLZeRcx60JO52C3REvP0P574alc5_lT9yZ #ecuacionesdiferenciales #matematicas #matematicasconjuan Me ayudas muchísimo si te haces miembro de MATEMÁTICAS CON JUAN https://www.youtube.com/channel/UCb40x1kRqrq7---i14VaA-A/join