Ecuacion grado doce: X¹² − 1 = 0 | Cómo obtener TODAS las soluciones

Resolución de la la ecuación de grado 12: x¹² − 1 = 0, con sus doce soluciones. La clave no consiste en aplicar una fórmula gigantesca para ecuaciones de grado doce, sino en factorizar cuidadosamente el polinomio utilizando identidades notables: diferencia de cuadrados, suma de cubos, diferencia de cubos y propiedad del producto nulo. Comenzamos transformando la expresión: x¹² − 1 en una diferencia de cuadrados: (x⁶)² − 1² De este modo obtenemos la primera factorización: x¹² − 1 = (x⁶ + 1)(x⁶ − 1) Después continuamos descomponiendo cada factor. Interpretamos x⁶ + 1 como una suma de cubos y x⁶ − 1 como una diferencia de cubos: x⁶ + 1 = (x² + 1)(x⁴ − x² + 1) x⁶ − 1 = (x² − 1)(x⁴ + x² + 1) Además: x² − 1 = (x + 1)(x − 1) Por tanto, la ecuación queda convertida en un producto de factores: (x² + 1)(x⁴ − x² + 1)(x + 1)(x − 1)(x⁴ + x² + 1) = 0 A partir de aquí utilizamos la propiedad del producto nulo. Cada factor debe igualarse a cero, lo que nos permite estudiar varias ecuaciones más sencillas y reunir finalmente las doce raíces complejas de la ecuación original. Durante la resolución aparecen las soluciones reales x = 1 y x = −1, las soluciones imaginarias x = i y x = −i y otras ocho raíces complejas. Para resolver uno de los factores de cuarto grado realizamos el cambio de variable t = x², transformándolo en una ecuación cuadrática. Este ejercicio muestra cómo una ecuación de grado doce puede resolverse mediante herramientas algebraicas elementales cuando se reconoce la estructura adecuada. Es una aplicación completa de la factorización de polinomios, las identidades notables, los números complejos y las raíces de la unidad. CAPÍTULOS 0:00 Objetivo: factorizar x¹² − 1 0:24 Diferencia de cuadrados 0:52 Primera transformación del polinomio 1:18 Factorización en x⁶ + 1 y x⁶ − 1 1:58 Segundo movimiento de factorización 2:05 Suma de cubos 2:51 Aplicamos la suma de cubos a x⁶ + 1 4:17 Diferencia de cubos 5:25 Aplicamos la diferencia de cubos a x⁶ − 1 6:13 Nueva factorización del polinomio 7:00 Factorización de x² − 1 7:49 Producto de cinco factores 8:03 Propiedad del producto nulo 9:28 Soluciones x = 1 y x = −1 10:03 Soluciones x = i y x = −i 11:35 Todavía faltan ocho soluciones 11:52 Soluciones de x⁴ − x² + 1 = 0 13:51 Resolución de x⁴ + x² + 1 = 0 13:56 Cambio de variable t = x² 14:25 Ecuación cuadrática en t 15:49 Valores complejos de t 16:23 Regresamos a la variable x 17:03 Las cuatro últimas soluciones 18:15 Las doce soluciones de la ecuación Más ecuaciones de grado mayor que tres aquí: https://www.youtube.com/playlist?list=PLZeRcx60JO512DyGWnTlsXmf5D_r1jG0e #matematicasconjuan #matematicas #ecuaciones Me ayudas muchísimo si te haces miembro de MATEMÁTICAS CON JUAN https://www.youtube.com/channel/UCb40x1kRqrq7---i14VaA-A/join