CÓMO CALCULAR LA ALTURA DE UN ÁRBOL CON TRIGONOMETRÍA

¿Cómo podemos calcular la altura de un árbol sin medirlo directamente? En este precioso problema utilizaremos dos ángulos de observación, 30° y 45°, y una separación de 4 metros para hallar la altura exacta del árbol mediante trigonometría. Antes de resolver el ejercicio repasaremos lo mínimo que necesitas saber sobre un triángulo rectángulo: qué son el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa, y cómo se definen las tres razones trigonométricas fundamentales: tan θ = cateto opuesto / cateto adyacente sen θ = cateto opuesto / hipotenusa cos θ = cateto adyacente / hipotenusa En este problema aparecen dos triángulos rectángulos. Llamaremos x a una de las distancias horizontales y h a la altura del árbol. Aplicando la tangente en cada triángulo obtenemos: tan 30° = h/(x + 4) tan 45° = h/x Como tan 45° = 1, deducimos que: h = x Sustituyendo este resultado en la primera ecuación y resolviendo paso a paso, obtenemos: h = 4√3/(3 − √3) Después racionalizamos el denominador y simplificamos la expresión hasta llegar al resultado exacto: h = 2√3 + 2 m En forma decimal: h ≈ 5,46 m Este ejercicio es especialmente completo porque combina trigonometría, álgebra, resolución de ecuaciones, productos notables, extracción de factor común y racionalización de denominadores. En esta clase aprenderás: • Qué son el seno, el coseno y la tangente. • Cómo identificar el cateto opuesto y el cateto adyacente. • Cómo plantear dos ecuaciones trigonométricas. • Cómo relacionar las incógnitas x y h. • Cómo resolver algebraicamente la ecuación obtenida. • Cómo racionalizar una expresión con raíces. • Cómo expresar el resultado de forma exacta y decimal. CAPÍTULOS 00:00 Planteamiento del problema 00:22 Lo mínimo que debes saber 00:39 Definición de la tangente 01:03 Definición del seno 01:26 Definición del coseno 01:56 Razones trigonométricas fundamentales 02:30 Los dos triángulos rectángulos 02:51 Primera ecuación: tangente de 30° 03:51 Segunda ecuación: tangente de 45° 04:32 Valores de las tangentes 05:28 Deducimos que h = x 05:51 Sustitución en la primera ecuación 06:20 Resolución de la ecuación 07:21 Despejamos la altura 09:36 Primer resultado exacto 10:01 Racionalización del denominador 11:44 Producto de conjugados 12:36 Simplificación de la expresión 14:50 Resultado exacto de la altura 15:10 Resultado decimal 15:53 Problema propuesto 16:17 Despedida Intenta resolver también el problema propuesto al final de la clase y escribe en los comentarios qué resultado has obtenido. Suscríbete a Matemáticas con Juan para seguir aprendiendo matemáticas con explicaciones completas, razonadas y paso a paso. Palabras clave: calcular la altura de un árbol, problemas de trigonometría, aplicaciones de la trigonometría, razones trigonométricas, seno coseno y tangente, triángulos rectángulos, tangente de 30 grados, tangente de 45 grados, racionalización, altura y distancias. Más problemas de trigonometría: https://www.youtube.com/playlist?list=PLZeRcx60JO52PK29m3g7TvWVzisdrvn3Y #trigonometria #matematicas #matematicasconjuan Me ayudas muchísimo si te haces miembro de MATEMÁTICAS CON JUAN https://www.youtube.com/channel/UCb40x1kRqrq7---i14VaA-A/join