ÁREA DEL CUADRADO INSCRITO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
¿Cómo podemos calcular el área de un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo si únicamente conocemos los dos catetos del triángulo? En esta clase resolvemos paso a paso un precioso reto de geometría utilizando el teorema de Pitágoras, la semejanza de triángulos y un sistema de dos ecuaciones. El triángulo rectángulo tiene catetos de 5 cm y 12 cm. En su interior aparece un cuadrado cuyo lado y cuya área son desconocidos. El objetivo consiste en encontrar el área exacta del cuadrado sin utilizar fórmulas memorizadas específicas para esta figura. EJERCICIO 1. ÁREA DEL CUADRADO INSCRITO Comenzamos calculando la hipotenusa del triángulo mediante el teorema de Pitágoras: h² = 5² + 12² De esta manera obtenemos la conocida terna pitagórica 5-12-13. A continuación identificamos varios triángulos rectángulos semejantes dentro de la figura. Llamamos L al lado del cuadrado y x a uno de los segmentos auxiliares. Gracias a la semejanza establecemos dos proporciones entre los lados correspondientes. Estas proporciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Al resolverlo obtenemos: L = 780/229 cm Como el área de un cuadrado es el cuadrado de su lado: A = L² El resultado aproximado es: A ≈ 11,6 cm² Este ejercicio permite trabajar de forma conjunta algunos de los conceptos más importantes de la geometría elemental: • Teorema de Pitágoras. • Triángulos rectángulos. • Triángulos semejantes. • Proporcionalidad entre lados. • Sistemas de ecuaciones. • Área de un cuadrado. • Estrategias para resolver retos geométricos. PROBLEMA PROPUESTO. ÁREA DE UN TERRENO Al final del vídeo encontrarás un segundo reto para resolver por tu cuenta: calcular el área de un terreno cuadrangular cuyos lados miden 60 m, 40 m, 55 m y 11 m. En uno de sus vértices aparece además un ángulo recto. Intenta dividir el terreno en figuras más sencillas y aprovechar todos los datos antes de mirar otras soluciones. Puedes dejar tu procedimiento y tu resultado en los comentarios. CAPÍTULOS 00:00 Presentación del reto geométrico 01:14 Cálculo de la hipotenusa 03:19 Definición de las incógnitas x y L 04:29 Identificación de los triángulos semejantes 07:33 Proporciones entre los lados 09:37 Sistema de dos ecuaciones 13:38 Cálculo del lado del cuadrado 16:24 Cálculo del área del cuadrado 17:45 Interpretación del resultado 18:09 Problema propuesto: área del terreno Este problema es ideal para estudiantes de secundaria, bachillerato y para cualquier persona que disfrute aprendiendo geometría mediante retos razonados y visuales. Suscríbete a Matemáticas con Juan para encontrar más problemas de geometría, álgebra, cálculo y razonamiento matemático explicados paso a paso. Más ejercicios de cálculo de áreas aquí: https://www.youtube.com/playlist?list=PLZeRcx60JO52cD-bzpuUlvBY5ykcAT2xx Me ayudas muchísimo si te haces miembro de MATEMÁTICAS CON JUAN https://www.youtube.com/channel/UCb40x1kRqrq7---i14VaA-A/join
