Aún no sabes qué es una función

Todavía no sabes qué es una función. Te lo demuestro con el siguiente ejercicio. ¿Se puede simplificar la función f(x)=(x²−1)/(x+1) y escribir simplemente f(x)=x−1? Parece evidente: factorizamos x²−1=(x+1)(x−1), cancelamos x+1 y obtenemos x−1. Sin embargo, si estamos hablando de funciones, acabamos de cometer un error muy sutil: hemos cambiado el dominio y, por tanto, hemos obtenido una función diferente. En esta clase analizamos con detalle por qué f(x)=(x²−1)/(x+1) y g(x)=x−1 NO son la misma función si consideramos sus dominios naturales. La primera no está definida en x=−1, mientras que la segunda sí. Por tanto, Dom(f)=ℝ{−1} y Dom(g)=ℝ. Aunque ambas expresiones proporcionan el mismo valor para todo x≠−1, las funciones no son iguales porque una función no queda determinada únicamente por una fórmula: su dominio también forma parte de ella. Lo veremos además gráficamente. La función g(x)=x−1 es una recta completa. La gráfica de f(x) coincide con esa recta excepto en el punto correspondiente a x=−1, donde f no existe. Como g(−1)=−2, la gráfica de f presenta un hueco en el punto (−1,−2). Ese único punto basta para demostrar visualmente que estamos ante dos funciones diferentes. Entonces, ¿cuándo podemos cancelar x+1? Si trabajamos con la fracción algebraica (x²−1)/(x+1), podemos factorizar y reducir la expresión teniendo presente la restricción x≠−1. También podemos realizar esta transformación al calcular, por ejemplo, lim x→−1 de (x²−1)/(x+1), porque para estudiar ese límite nos interesan los valores próximos a −1 y las dos funciones coinciden en un entorno perforado de ese punto. Lo que no podemos hacer es convertir sin más una función cuyo dominio excluye −1 en otra cuyo dominio contiene −1 y afirmar que son exactamente la misma función. Una distinción pequeña en apariencia, pero fundamental: expresión algebraica, fracción algebraica y función no son conceptos intercambiables. Entender esta diferencia evita errores importantes en álgebra, funciones, continuidad y límites. CAPÍTULOS 00:00 Un error matemático muy sutil 00:36 ¿Se puede simplificar esta función? 01:11 Factorizamos x²−1 01:52 La cancelación que parece correcta 02:20 ¿Son realmente funciones iguales? 03:02 Comparamos los dominios 03:36 Dominio de g(x)=x−1 04:05 Dominio de f(x)=(x²−1)/(x+1) 04:42 Dos dominios diferentes 05:28 Vamos a verlo gráficamente 05:51 Gráfica de y=x 06:20 Gráfica de y=x−1 07:12 Gráfica de f(x) 08:08 El hueco en (−1,−2) 08:47 Las gráficas no son iguales 09:13 ¿Por qué hemos cancelado otras veces? 09:53 Funciones y fracciones algebraicas 10:39 Simplificación de una fracción algebraica 11:27 Por qué no es lo mismo con funciones 11:53 Qué ocurre al calcular límites 12:39 Dos funciones distintas con el mismo límite 13:03 Clase recomendada sobre límites 13:22 Conclusión Más ejercicios de funciones aquí: https://www.youtube.com/playlist?list=PLZeRcx60JO52LhJmL23FKZtQDjHVmtKY2 #matematicas #matematicasconjuan #funciones Me ayudas muchísimo si te haces miembro de MATEMÁTICAS CON JUAN https://www.youtube.com/channel/UCb40x1kRqrq7---i14VaA-A/join